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Steffen Koenig: Vorlesung Lie-Algebren (WS 2012/13)

Inhalt der Vorlesung:

Kapitel 1: Lie-Algebren und Darstellungen
Dienstag 16.10.: Definition Lie-Algebren, Beispiele, Derivationen, Homomorphismen, Darstellungen und Moduln.
Donnerstag 18.10.: Teil- und Quotientendarstellungen, einfach und irreduzibel, Beispiel eindimensionale Lie-Algebra, Beispiel sl(2,C): endlich.dimensionale Darstellungen.
Dienstag 23.10.: Fortsetzung Beispiel sl(2,C): Klassifikation der endlich-dimensionalen Darstellungen, Vorschau auf weitere Vorlesung, Beispiel sl(3,C): Eigenwerte.
Donnerstag 25.10.: Fortsetzung Beispiel sl(3,C): Bilder von Darstellungen, Wurzeln, Gewichte, höchste Gewichte.

Kapitel 2: Halbeinfache komplexe Lie-Algebren
Donnerstag 25.10.: Abgeleitete Reihe und absteigende Zentralreihe, abelsch, einfach, auflösbar und nilpotent, Beispiele.
Dienstag 30.10.: Übungen.
Dienstag 6.11.: Ohne Beweis: Satz von Engel und Satz von Lie. Radikal einer Lie-Algebra, halbeinfach. Jordan-Chevalley-Zerlegung. Ohne Beweis: Cartans Kriterium. Killing-Form.
Donnerstag 8.11.: Assoziative Bilinearform. Beispiel. Charakterisierung von halbeinfach durch die Killing-Form. Halbeinfache Lie-Algebren sind direkte Summen von einfachen. L und Der(L). Dualraum und Tensorprodukt.
Dienstag 13.11.: Tensorprodukt von Moduln. Homomorphismen als Moduln. Casimir-Element, Beispiel.
Donnerstag 15.11.: Satz von Weyl. Konsequenzen für die Jordan-Zerlegung.
Dienstag 20.11.: Übungen.

Kapitel 3: Universelle einhüllende Algebren.
Donnerstag 22.11.: Freie Gruppen und Algebren. Tensoralgebra und symmetrische Algebra. Graduierte Algebren. Universelle einhüllende Algebren.
Dienstag 27.11.: Beispiele. Moduln. Erste Version des PBW-Theorems. Filtrierungen und assoziierte graduierte Algebra. Homomorphismus von S nach G.
Donnerstag 29.11.: Zweite Version des PBW-Theorems. S als L-Modul.
Dienstag 4.12.: Ende des Beweises. Freie, projektive und flache Moduln. Anwendung des PBW-Theorems.
Donnerstag 6.12.: Adjunktion. Universeller Höchstgewichtsmodul zu einem Gewicht. Freie Lie-Algebren.

Kapitel 4: Wurzeln und Dynkin-Diagramme.
Donnerstag 6.12.: Cartan-Teilalgebren. Wurzelraumzerlegung.
Dienstag 11.12.: Morozovs Lemma und sl(2)-Tripel. Eigenschaften von Wurzelräumen.
Donnerstag 13.12.: Wurzeln. Rationale Koeffizienten. Skalarprodukt. Definition Wurzelsystem. Wurzeln bilden ein Wurzelsystem.
Dienstag 18.12.: Übungen.



Übungsblätter:
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3



Termine für mündliche Prüfungen können ab sofort im Sekretariat bei Frau Gangl vereinbart werden.



Literatur:

James Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory.
Karin Erdmann and Mark Wildon, Introduction to Lie algebras.

William Fulton and Joe Harris, Representation theory - a first course.

Jacques Dixmier, Enveloping algebras.
Jens Carsten Jantzen, Einhüllende Algebren halbeinfacher Lie-Algebren.
James Humphreys, Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O.